Следование (⇒) и равносильность (⇔) в LaTeX

Q: Чем отличаются \implies и \iff?

\implies (⇒) односторонняя: P \implies Q значит, что истинность P влечёт истинность Q, но Q может быть как истинным, так и ложным, когда P ложно. \iff (⇔) двусторонняя: P \iff Q значит, что у P и Q всегда одинаковое значение истинности, то есть одновременно выполняются P \implies Q и Q \implies P.

Q: \implies это то же самое, что \rightarrow?

Нет. \rightarrow (или \to) обычно применяется для функций и пределов, как f: A \to B или x \to \infty, а \implies предназначена именно для логического следования между утверждениями. В некоторых текстах по формальной логике для следования действительно используют одинарную стрелку вправо, но в обычной математической записи их различают.

\implies набирает стрелку логического следования ⇒; $P ⟹ Q$ значит, что когда P истинно, Q тоже должно быть истинным. \iff набирает двустороннюю стрелку ⇔ для «тогда и только тогда».

⟹

Команда LaTeX

\implies

Это не тот символ? Нарисуйте его, чтобы найти команду →

Набираете рукописные конспекты? Преобразуйте целую страницу рукописного текста в LaTeX →

Следование это одностороннее отношение: $P ⟹ Q$ говорит, что истинность передаётся от P к Q, но ничего не говорит о том, что будет, если P ложно. Этот символ стоит за каждым утверждением «если... то» в математике: от x > $0 ⟹ x^{2}$ > 0 до вывода теоремы из её условий.

\iff (или \Leftrightarrow) сильнее: она объединяет два следования, $P ⟹ Q$ и $Q ⟹ P$ , в одно утверждение о том, что P и Q логически равносильны. Чтобы доказать «тогда и только тогда», обычно нужно отдельно доказать оба направления, в письменном доказательстве их часто помечают «(\Rightarrow)» и «(\Leftarrow)».

Не путайте \implies с простой стрелкой \rightarrow или \to, которые обычно применяются для функций и пределов, а не для логических утверждений, и со знаком равенства, который утверждает равенство значений, а не логическую связь между утверждениями. В некоторых текстах \Rightarrow используют вместо \implies; обе команды дают одну и ту же стрелку с двойной линией.

Другие варианты

\Rightarrow⇒

\iffтогда и только тогда (⇔)

\Leftrightarrow⇔

Примеры

x > 0 ⟹ x^{2} > 0

$x > 0 \implies x^2 > 0$

простое следование

P ⟺ Q

$P \iff Q$

P выполняется ровно тогда, когда выполняется Q

n is even ⟹ n^{2} is even

$n \text{ is even} \implies n^2 \text{ is even}$

следование с условием в виде текста

a = b ⟺ a - b = 0

$a = b \iff a - b = 0$

равносильность двух условий

P \Rightarrow Q

$P \Rightarrow Q$

то же следование, записанное простой командой \Rightarrow

Советы и частые ошибки

Используйте \implies (или равнозначную \Rightarrow) для логического следствия в одну сторону, а \iff оставьте для настоящей двусторонней равносильности: не путайте их.
Доказывая утверждение с \iff, разбейте доказательство на два отдельных следования, прямое и обратное, а не пытайтесь рассуждать в обе стороны сразу.
Не путайте \implies с \to или \rightarrow: они обозначают функции (f: $A \to B$ ) и пределы, а не логическое следование между утверждениями.
В некоторых движках \implies выводится с более широкими пробелами, чем \Rightarrow, потому что автоматически добавляет тонкие пробелы, как будто глаз читает «следует» как целое слово; \Rightarrow это голый символ со стандартными интервалами оператора.
Чётко указывайте область и условие перед стрелкой: x > $0 ⟹ x^{2}$ > 0 яснее, чем голое следование, в котором смысл x остаётся неоднозначным.

Работаете с рукописными конспектами?

LatexNotes превращает фото или PDF с рукописной математикой в аккуратный компилируемый LaTeX, вместе с графиками. Попробуйте бесплатно, без регистрации.

Посмотрите шаг за шагом, как работает преобразование рукописного текста в LaTeX, а если вы пишете на iPad, откройте GoodNotes в LaTeX (в Notability всё устроено так же).

Преобразовать математику в LaTeX →

Частые вопросы

Чем отличаются \implies и \Rightarrow?

Они рисуют одну и ту же стрелку с двойной линией (⇒) и логически идентичны. \implies это макрос amsmath, который добавляет немного места вокруг стрелки, чтобы запись читалась как слово «следует»; \Rightarrow это голый базовый символ отношения со стандартными интервалами. Верны оба, выберите один и придерживайтесь его.

Чем отличаются \implies и \iff?

\implies (⇒) односторонняя: $P ⟹ Q$ значит, что истинность P влечёт истинность Q, но Q может быть как истинным, так и ложным, когда P ложно. \iff (⇔) двусторонняя: $P ⟺ Q$ значит, что у P и Q всегда одинаковое значение истинности, то есть одновременно выполняются $P ⟹ Q$ и $Q ⟹ P$ .

Как доказать утверждение «тогда и только тогда»?

Разбейте доказательство на две части: предположите P и выведите Q (прямое направление, \Rightarrow), затем отдельно предположите Q и выведите P (обратное направление, \Leftarrow). Вместе они устанавливают $P ⟺ Q$ .

\implies это то же самое, что \rightarrow?

Нет. \rightarrow (или \to) обычно применяется для функций и пределов, как f: $A \to B$ или $x \to \infty$ , а \implies предназначена именно для логического следования между утверждениями. В некоторых текстах по формальной логике для следования действительно используют одинарную стрелку вправо, но в обычной математической записи их различают.