Квантор существования (∃) в LaTeX
\exists набирает квантор существования ∃, читается «существует»: он утверждает, что хотя бы один объект области обладает заданным свойством.
Команда LaTeX
\existsЭто не тот символ? Нарисуйте его, чтобы найти команду →
Набираете рукописные конспекты? Преобразуйте целую страницу рукописного текста в LaTeX →
Квантор существования утверждает, что где-то есть объект с заданным свойством, не говоря, сколько их и как его найти. \exists x : x^2 = 2 утверждает, что есть вещественное число с квадратом 2; это верно благодаря \sqrt{2}, но о единственности само утверждение ничего не доказывает.
Если свойством должен обладать ровно один объект, используйте квантор существования и единственности \exists! вместо простого \exists. \exists! x, P(x) это сокращение для «существует x со свойством P, и он единственный», что иначе пришлось бы записывать двумя отдельными условиями.
\exists отрицается через \nexists («не существует», нужен amssymb, в KaTeX он доступен по умолчанию) или, что равносильно, записью \neg \exists с внесением отрицания внутрь, после чего получается \forall x, \neg P(x). Оба способа распространены, но \nexists компактнее и читается лучше в начале утверждения.
Другие варианты
\nexistsне существует (∄)Примеры
$\exists x : x^2 = 2$существует вещественное число, квадрат которого равен 2
$\exists! x \in \mathbb{R},\ x^3 = 8$существование и единственность: ровно один такой x
$\nexists x \in \mathbb{Q},\ x^2 = 2$нет рационального числа, квадрат которого равен 2
$\exists \delta > 0 \text{ such that } |x-a| < \delta$существование со словами «такое, что» обычным текстом
Советы и частые ошибки
- Отделяйте квантифицируемую переменную от свойства двоеточием или словами «такой, что»:
\existsx : P(x) или\existsx\text{ such that }P(x), как естественнее для вашей аудитории. - Для существования и единственности берите
\exists!, а не добавляйте отдельное предложение о единственности: это стандартная запись в анализе и алгебре. - Для
\nexistsв полноценном документе LaTeX нужен пакет amssymb (KaTeX на этом сайте поддерживает его по умолчанию); если в другом месте он не отображается, используйте\neg \exists. - Утверждение о существовании само по себе не конструктивно:
\existsx, P(x) говорит, что такой x есть, но доказательство всё равно может потребовать предъявить его явно или рассуждать косвенно. - Следите за порядком кванторов, когда
\existsстоит рядом с\forall: замена\existsy\,\forallx на\forallx\,\existsy меняет смысл утверждения.
Работаете с рукописными конспектами?
LatexNotes превращает фото или PDF с рукописной математикой в аккуратный компилируемый LaTeX, вместе с графиками. Попробуйте бесплатно, без регистрации.
Посмотрите шаг за шагом, как работает преобразование рукописного текста в LaTeX, а если вы пишете на iPad, откройте GoodNotes в LaTeX (в Notability всё устроено так же).
Преобразовать математику в LaTeX →Частые вопросы
Что означает \exists?
Это квантор существования, читается «существует». \exists x, P(x) утверждает, что хотя бы одно значение x из области делает P(x) истинным, не говоря, сколько таких значений и какое именно.
Каким символом записывается «существует единственный»?
\exists!: это квантор существования с восклицательным знаком после него, он означает, что существует ровно один объект с заданным свойством.
Как записать «не существует» в LaTeX?
Используйте \nexists (из amssymb, в KaTeX встроен): это квантор существования, перечёркнутый чертой. \neg \exists равносильная, чуть более длинная запись.
Чем отличаются \exists и \forall?
\exists утверждает, что свойством обладает хотя бы один объект, \forall утверждает, что им обладает каждый объект области. Это логически двойственные кванторы: если отрицать один и внести отрицание внутрь, получится другой.