Пустое множество (∅) в LaTeX
\emptyset набирает знак пустого множества ∅, единственного множества, в котором вообще нет элементов.
Команда LaTeX
\emptysetЭто не тот символ? Нарисуйте его, чтобы найти команду →
Набираете рукописные конспекты? Преобразуйте целую страницу рукописного текста в LaTeX →
В пустом множестве нет ни одного элемента: для любого x утверждение x \in \emptyset ложно. Оно единственно, потому что любые два множества без элементов равны по определению, и является подмножеством любого множества, включая само себя. Запись = \emptyset это стандартный способ сказать, что два множества не пересекаются.
В LaTeX есть два начертания. \emptyset стоит по умолчанию: это узкий, слегка овальный нуль с чертой. \varnothing (из amssymb, в KaTeX встроен) это круглое кольцо с чертой, которое многие руководства по стилю в теории множеств и алгебре предпочитают, потому что оно читается именно как символ, а не как перечёркнутый нуль.
Не пишите \{\emptyset\}, когда имеете в виду \emptyset: множество, единственный элемент которого пустое множество, содержит один элемент и не совпадает с самим пустым множеством. Это различие важно в конструкциях, где натуральные числа или ординалы строят из вложенных множеств.
Другие варианты
\varnothingболее круглый вариант (∅)Примеры
$A \cap B = \emptyset$A и B не пересекаются
$\emptyset \subseteq A$пустое множество является подмножеством любого множества
$\{x \in \mathbb{R} : x^2 < 0\} = \emptyset$множество без вещественных решений
$A \cup \emptyset = A$пустое множество нейтрально для объединения
$\varnothing$альтернативный, более круглый знак из amssymb
Советы и частые ошибки
- Выберите одно начертание,
\emptysetили\varnothing, и используйте его во всём документе; не смешивайте их: они похожи, но не одинаковы. \emptysetникогда не равно \{\emptyset\}: второе это множество из одного элемента (сам он пустое множество), поэтому его размер 1, а не 0.- Не путайте пустое множество
\emptysetс числом 0 или пустой строкой: это объекты разных видов, хотя в обиходе все три означают «ничего». \emptysetявляется подмножеством любого множества, включая себя; это удобный базовый случай в доказательствах по индукции о подмножествах.- Непересекаемость лучше записывать явно, как =
\emptyset, а не только словами: так яснее, и эту запись проще продолжить в дальнейших выкладках.
Работаете с рукописными конспектами?
LatexNotes превращает фото или PDF с рукописной математикой в аккуратный компилируемый LaTeX, вместе с графиками. Попробуйте бесплатно, без регистрации.
Посмотрите шаг за шагом, как работает преобразование рукописного текста в LaTeX, а если вы пишете на iPad, откройте GoodNotes в LaTeX (в Notability всё устроено так же).
Преобразовать математику в LaTeX →Частые вопросы
Чем отличаются \emptyset и \varnothing?
Это два визуальных варианта одного и того же символа пустого множества. \emptyset это узкий овальный нуль с чертой; \varnothing (из amssymb, в KaTeX доступен по умолчанию) это круглое кольцо с чертой, которое в теории множеств часто предпочитают, потому что он меньше похож на перечёркнутый нуль. Верны оба; выберите один и придерживайтесь его.
Пустое множество это то же самое, что ноль?
Нет. \emptyset это множество без элементов, а 0 это число. Это математические объекты разных типов, хотя в формальной теории множеств пустое множество часто используют для построения числа ноль.
Является ли \emptyset подмножеством любого множества?
Да. Условие выполняется вакуумно: каждый элемент \emptyset (их нет) удовлетворяет любому условию принадлежности, поэтому \emptyset \subseteq A верно для любого множества A, включая A = \emptyset.
Что такое \{\emptyset\}?
Это множество, содержащее ровно один элемент, а именно пустое множество. В нём один элемент, поэтому \{\emptyset\} \neq \emptyset; не путайте контейнер с тем, что в нём лежит.