Знак объединения (∪) в LaTeX

Q: Чем отличаются \cup и \bigcup?

\cup соединяет два явно записанных множества, как A \cup B. \bigcup это вариант «большого оператора» для объединения многих множеств, заданных индексом, \bigcup_{i \in I} A_i, то есть аналог \sum для объединения.

Q: Равнозначна ли \cup логическому «или»?

Они тесно связаны, но набираются по-разному. \cup объединяет множества, а \vee (или \lor) это логическая связка «или» между высказываниями. Берите ту, что соответствует тому, что вы объединяете.

\cup набирает знак объединения ∪; $A \cup B$ это множество всего, что принадлежит A, B или обоим.

\cup

Команда LaTeX

\cup

Это не тот символ? Нарисуйте его, чтобы найти команду →

Набираете рукописные конспекты? Преобразуйте целую страницу рукописного текста в LaTeX →

Объединение собирает два (или больше) множества в одно, где есть каждый элемент, встречающийся хотя бы в одном из них. $A \cup B$ не теряет ни одного элемента: если x есть в A или в B (или в обоих), он есть и в $A \cup B$ . Объединение коммутативно и ассоциативно, поэтому скобки в цепочке вроде $A \cup B \cup C$ необязательны.

Для объединения многих множеств, занумерованных индексом i, берите большой оператор \bigcup, а не цепочку \cup вручную. \bigcup_{i=1}^{n} A_i принимает пределы в нижнем и верхнем индексе точно так же, как \sum, а \bigcup_{i \in I} A_i работает с произвольным множеством индексов I.

Объединение естественно сочетается с пересечением (\cap) и разностью множеств. Тождество, которое стоит запомнить при написании доказательств, это закон де Моргана ( $A \cup B$ )^c = $A^{c} \cap B^{c}$ : его легко набрать, когда известны команды объединения и пересечения.

Другие варианты

\bigcupбольшое объединение (⋃)

Примеры

A \cup B

$A \cup B$

всё, что есть в A или B (или в обоих)

A \cup \emptyset = A

$A \cup \emptyset = A$

пустое множество нейтрально для объединения

i = 1 ⋃ n A_{i}

$\bigcup_{i=1}^{n} A_i$

объединение многих множеств с пределами, как у \sum

(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}

$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$

закон де Моргана для объединения и пересечения

A \cup B \cup C

$A \cup B \cup C$

объединение ассоциативно, поэтому скобки не нужны

Советы и частые ошибки

Берите \cup для объединения двух (или короткого явного списка) множеств, а \bigcup для объединения по индексу, так же как вы выбираете \sum вместо повторяющихся плюсов.
\bigcup принимает пределы в нижнем и верхнем индексе так же, как \sum и \int: \bigcup_{i=1}^n A_i.
Объединение дистрибутивно относительно пересечения и наоборот; если доказательство выглядит громоздким, раскройте его по закону дистрибутивности A \cup ( $B \cap C$ ) = ( $A \cup B$ ) \cap ( $A \cup C$ ).
Не путайте \cup (объединение, операция над множествами) с \vee (логическое «или»): они похожи, но применяются в разных случаях, к множествам и к высказываниям.
$A \cup B$ = B равносильно $A \subseteq B$ : удобный факт, позволяющий превратить утверждение о включении в равенство с объединением и обратно.

Работаете с рукописными конспектами?

LatexNotes превращает фото или PDF с рукописной математикой в аккуратный компилируемый LaTeX, вместе с графиками. Попробуйте бесплатно, без регистрации.

Посмотрите шаг за шагом, как работает преобразование рукописного текста в LaTeX, а если вы пишете на iPad, откройте GoodNotes в LaTeX (в Notability всё устроено так же).

Преобразовать математику в LaTeX →

Частые вопросы

Что означает

A \cup B

Это объединение A и B: множество всех элементов, принадлежащих A, B или обоим. Ничего из того, что есть в любом из множеств, не теряется.

Чем отличаются \cup и \bigcup?

\cup соединяет два явно записанных множества, как $A \cup B$ . \bigcup это вариант «большого оператора» для объединения многих множеств, заданных индексом, \bigcup_{i \in I} A_i, то есть аналог \sum для объединения.

Равнозначна ли \cup логическому «или»?

Они тесно связаны, но набираются по-разному. \cup объединяет множества, а \vee (или \lor) это логическая связка «или» между высказываниями. Берите ту, что соответствует тому, что вы объединяете.