Знак пересечения (∩) в LaTeX

Q: Как показать в LaTeX, что два множества не пересекаются?

Напишите A \cap B = \emptyset: это значит, что у множеств нет общих элементов.

Q: Чем отличаются \cap и \bigcap?

\cap пересекает два явно названных множества, как A \cap B. \bigcap это форма большого оператора для пересечения семейства множеств с индексом, \bigcap_{i \in I} A_i, и пределы у неё задаются так же, как у \sum.

Q: Равнозначна ли \cap логическому «и»?

Нет, хотя ведут они себя похоже. \cap соединяет множества, а \wedge (или \land) связывает логические высказывания. Не смешивайте их: они не взаимозаменяемы ни в записи, ни по смыслу.

\cap набирает знак пересечения ∩; $A \cap B$ это множество элементов, принадлежащих и A, и B.

\cap

Команда LaTeX

\cap

Это не тот символ? Нарисуйте его, чтобы найти команду →

Набираете рукописные конспекты? Преобразуйте целую страницу рукописного текста в LaTeX →

Пересечение собирает только то, что есть у обоих множеств сразу. $A \cap B$ оставляет элемент x ровно тогда, когда x есть в A и x есть в B; всё, что лежит только в одном из множеств, отбрасывается. Как и объединение, пересечение коммутативно и ассоциативно, поэтому скобки в цепочке $A \cap B \cap C$ не нужны.

Если у двух множеств нет ничего общего, их пересечение пусто, и это записывается как $A \cap B$ = \emptyset; так принято утверждать, что A и B не пересекаются. У пересечения есть и нейтральный элемент, универсальное множество U, ведь $A \cap U$ = A.

Чтобы пересечь целое семейство множеств, берите \bigcap, а не повторяйте \cap. \bigcap_{i=1}^n A_i и \bigcap_{i \in I} A_i принимают пределы так же, как \bigcup и \sum, поэтому цепочки пересечений легко читать, даже когда членов много.

Другие варианты

\bigcapбольшое пересечение (⋂)

Примеры

A \cap B

$A \cap B$

всё, что есть и в A, и в B

A \cap B = \emptyset

$A \cap B = \emptyset$

A и B не пересекаются

A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

закон дистрибутивности

i = 1 ⋂ n A_{i}

$\bigcap_{i=1}^{n} A_i$

пересечение многих множеств с пределами, как у \sum

A \cap A = A

$A \cap A = A$

пересечение идемпотентно

Советы и частые ошибки

Берите \cap для двух (или короткого явного списка) множеств, а \bigcap для пересечения по индексу, по образцу пары \cup и \bigcup.
$A \cap B$ = \emptyset это стандартная запись того, что два множества не пересекаются; проверяйте это, прежде чем в доказательстве считать, что элемент принадлежит обоим множествам.
\bigcap принимает пределы в нижнем и верхнем индексе так же, как \sum и \bigcup: \bigcap_{i \in I} A_i.
Не путайте \cap (пересечение множеств) с \wedge (логическое «и»): берите \cap для множеств, а \wedge или \land для высказываний.
Запомните законы дистрибутивности, связывающие \cap и \cup: A \cap ( $B \cup C$ ) = ( $A \cap B$ ) \cup ( $A \cap C$ ) и зеркальный к нему; чаще всего в доказательствах про множества нужно именно это тождество.

Работаете с рукописными конспектами?

LatexNotes превращает фото или PDF с рукописной математикой в аккуратный компилируемый LaTeX, вместе с графиками. Попробуйте бесплатно, без регистрации.

Посмотрите шаг за шагом, как работает преобразование рукописного текста в LaTeX, а если вы пишете на iPad, откройте GoodNotes в LaTeX (в Notability всё устроено так же).

Преобразовать математику в LaTeX →

Частые вопросы

Что означает

A \cap B

Это пересечение A и B: множество элементов, которые принадлежат и A, и B одновременно. Всё, что есть только в одном из двух множеств, исключается.

Как показать в LaTeX, что два множества не пересекаются?

Напишите $A \cap B$ = \emptyset: это значит, что у множеств нет общих элементов.

Чем отличаются \cap и \bigcap?

\cap пересекает два явно названных множества, как $A \cap B$ . \bigcap это форма большого оператора для пересечения семейства множеств с индексом, \bigcap_{i \in I} A_i, и пределы у неё задаются так же, как у \sum.

Равнозначна ли \cap логическому «и»?

Нет, хотя ведут они себя похоже. \cap соединяет множества, а \wedge (или \land) связывает логические высказывания. Не смешивайте их: они не взаимозаменяемы ни в записи, ни по смыслу.