旋度 ∇× 与散度 ∇· 的 LaTeX 写法
把 \nabla 和 \times、\cdot 组合起来，就得到向量场的旋度（\nabla \times \mathbf{F}）和散度（\nabla \cdot \mathbf{F}）；而 \nabla^2 给出拉普拉斯算子。这三者是向量微积分中继梯度之后最核心的一组算子。
LaTeX 命令
\nabla \times \mathbf{F}不是你要找的符号？画出来查命令 →
旋度 \nabla \times \mathbf{F} 衡量向量场的局部旋转，结果仍是一个向量场。散度 \nabla \cdot \mathbf{F} 衡量某一点的净向外通量（或源的强度），结果是一个标量。别把运算符弄混：旋度用叉积，散度用点积，绝不能反过来。
拉普拉斯算子 \nabla^2 f（也写作 \Delta f）是梯度的散度，即 \nabla \cdot (\nabla f)，它是作用在标量场上的标量算子。它是拉普拉斯方程 \nabla^2 \phi = 0 以及热传导方程、波动方程的核心。
有两个恒等式值得记住，因为它们出现得非常频繁：任何梯度的旋度恒为零，任何旋度的散度也恒为零。两者都源于混合偏导数相等，在化简向量微积分表达式时会反复用到。
其他写法
\nabla \cdot \mathbf{F}散度\nabla^2拉普拉斯算子示例
$\nabla \times \mathbf{F}$向量场的旋度
$\nabla \cdot \mathbf{F}$向量场的散度
$\nabla^2 \phi = 0$拉普拉斯方程
$\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$任何梯度的旋度都为零
$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$任何旋度的散度都为零
使用技巧与常见错误
- 向量场要加粗写成
\mathbf{F}（或用\vec{F}），这样读者一眼就能把它和\phi这类标量函数区分开。 \nabla \times \mathbf{F}是旋度，结果是向量；\nabla \cdot \mathbf{F}是散度，结果是标量。不要把\times和\cdot互换，它们得到的是完全不同的量。- 拉普拉斯算子既可以写成
\nabla^2f，也可以写成\Deltaf；两者都是标准写法，选定一种后在整篇文档中保持一致。 - 记住
\nabla^2字面上就是\nabla \cdot \nabla，即梯度的散度；这样就容易理解为什么它是标量算子，尽管\nabla本身表现得像向量。 - 旋度和散度只对真正的向量场（通常是三分量的）有定义；不要对普通的标量函数用
\times。
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把你的数学笔记转成 LaTeX →常见问题
LaTeX 中旋度怎么写？
\nabla \times \mathbf{F}，用 \times 表示 nabla 算子与向量场之间的叉积。
LaTeX 中散度怎么写？
\nabla \cdot \mathbf{F}，用 \cdot 表示 nabla 算子与向量场之间的点积。
拉普拉斯算子的 LaTeX 代码是什么？
\nabla^2 f，或者等价地写成 \Delta f。
\nabla f、\nabla \cdot \mathbf{F} 和 \nabla \times \mathbf{F} 有什么区别？
\nabla f 是标量场的梯度（结果是向量）。\nabla \cdot \mathbf{F} 是向量场的散度（结果是标量）。\nabla \times \mathbf{F} 是向量场的旋度（结果是向量）。