Алеф (ℵ) в LaTeX
\aleph даёт ℵ, букву алеф древнееврейского алфавита; в теории множеств (всегда с индексом) она называет мощности, то есть размеры, бесконечных множеств.
Команда LaTeX
\alephЭто не тот символ? Нарисуйте его, чтобы найти команду →
Набираете рукописные конспекты? Преобразуйте целую страницу рукописного текста в LaTeX →
\aleph_0, алеф-нуль, это мощность натуральных чисел, наименьшая бесконечная мощность, и у каждого счётного бесконечного множества (целые, рациональные числа) та же мощность. Бóльшие бесконечные мощности нумеруются \aleph_1, \aleph_2 и так далее, образуя иерархию алефов.
Её следует отличать от мощности вещественных чисел, которую записывают \mathfrak{c} или 2^{\aleph_0}: она строго больше \aleph_0. Вопрос, равна ли \mathfrak{c} числу \aleph_1, это в точности континуум-гипотеза, знаменитое утверждение, независимое от стандартных аксиом теории множеств ZFC.
\aleph практически никогда не пишут без индекса: нужен индекс, указывающий, какая именно мощность имеется в виду. Кардинальные числа (алефы) не стоит путать с порядковыми, которые нумеруют другую, родственную иерархию и обычно записываются через \omega.
Примеры
$|\mathbb{N}| = \aleph_0$мощность натуральных чисел, алеф-нуль
$\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \cdots$иерархия алефов бесконечных кардиналов
$2^{\aleph_0} = \mathfrak{c}$мощность континуума
Советы и частые ошибки
- Всегда добавляйте индекс,
\aleph_0,\aleph_1и так далее;\alephбез индекса не является стандартным употреблением. \alephне требует дополнительных пакетов ни в LaTeX, ни в KaTeX.- Не путайте кардинальные алефы с порядковыми числами; порядковые нумеруют родственную, но другую иерархию, которую по традиции пишут через
\omega. - Континуум-гипотеза, 2^{
\aleph_0} =\aleph_1, не зависит от ZFC: если вы формулируете её так, будто она просто верна или неверна, добавьте сноску.
Работаете с рукописными конспектами?
LatexNotes превращает фото или PDF с рукописной математикой в аккуратный компилируемый LaTeX, вместе с графиками. Попробуйте бесплатно, без регистрации.
Посмотрите шаг за шагом, как работает преобразование рукописного текста в LaTeX, а если вы пишете на iPad, откройте GoodNotes в LaTeX (в Notability всё устроено так же).
Преобразовать математику в LaTeX →Частые вопросы
Что означает \aleph_0?
Алеф-нуль: мощность натуральных чисел, наименьшее бесконечное кардинальное число.
Как написать алеф в LaTeX?
\aleph, затем добавьте индекс для нужной мощности, например \aleph_0 или \aleph_1.
Это \aleph то же самое, что бесконечность (\infty)?
Нет. \infty это один символ для неограниченного предела или расширенного вещественного значения. \aleph_0, \aleph_1 и так далее это семейство различных бесконечных кардинальных чисел из теории множеств.
Что такое континуум-гипотеза?
Утверждение, что между \aleph_0 и мощностью вещественных чисел нет ни одной строго промежуточной мощности, то есть что 2^{\aleph_0} = \aleph_1; оно не зависит от стандартных аксиом ZFC.