Ротор и дивергенция (∇×, ∇·) в LaTeX
Сочетание \nabla с \times и \cdot даёт ротор (\nabla \times \mathbf{F}) и дивергенцию (\nabla \cdot \mathbf{F}) векторного поля, а \nabla^2 даёт лапласиан: три основных оператора второго семейства в векторном анализе.
Команда LaTeX
\nabla \times \mathbf{F}Это не тот символ? Нарисуйте его, чтобы найти команду →
Набираете рукописные конспекты? Преобразуйте целую страницу рукописного текста в LaTeX →
Ротор, \nabla \times \mathbf{F}, измеряет локальное вращение векторного поля и сам даёт векторное поле. Дивергенция, \nabla \cdot \mathbf{F}, измеряет суммарный поток наружу или мощность источника в точке и даёт скаляр. Не путайте операторы: векторное произведение для ротора, скалярное для дивергенции, и никогда наоборот.
Лапласиан, \nabla^2 f (пишут и \Delta f), это дивергенция градиента, \nabla \cdot (\nabla f), скалярный оператор, действующий на скалярное поле. Он лежит в основе уравнения Лапласа \nabla^2 \phi = 0, а также уравнений теплопроводности и волн.
Два тождества стоит запомнить, потому что они встречаются постоянно: ротор любого градиента всегда равен нулю, и дивергенция любого ротора всегда равна нулю. Оба следуют из равенства смешанных частных производных и постоянно используются для упрощения выражений векторного анализа.
Другие варианты
\nabla \cdot \mathbf{F}дивергенция\nabla^2лапласианПримеры
$\nabla \times \mathbf{F}$ротор векторного поля
$\nabla \cdot \mathbf{F}$дивергенция векторного поля
$\nabla^2 \phi = 0$уравнение Лапласа
$\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$ротор любого градиента равен нулю
$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$дивергенция любого ротора равна нулю
Советы и частые ошибки
- Набирайте векторное поле жирным,
\mathbf{F}(или через\vec{F}), чтобы оно заметно отличалось от скалярной функции вроде\phi. \nabla \times \mathbf{F}это ротор, вектор;\nabla \cdot \mathbf{F}это дивергенция, скаляр; не меняйте местами\timesи\cdot: получатся совершенно разные величины.- Лапласиан можно писать как
\nabla^2f или как\Deltaf; оба варианта стандартные, так что выберите один и придерживайтесь его в документе. - Помните, что
\nabla^2это буквально\nabla \cdot \nabla, дивергенция градиента: так легко вспомнить, почему это скалярный оператор, хотя сама\nablaведёт себя как вектор. - Ротор и дивергенция определены только для настоящего векторного поля (обычно с тремя компонентами); не применяйте
\timesк обычной скалярной функции.
Работаете с рукописными конспектами?
LatexNotes превращает фото или PDF с рукописной математикой в аккуратный компилируемый LaTeX, вместе с графиками. Попробуйте бесплатно, без регистрации.
Посмотрите шаг за шагом, как работает преобразование рукописного текста в LaTeX, а если вы пишете на iPad, откройте GoodNotes в LaTeX (в Notability всё устроено так же).
Преобразовать математику в LaTeX →Частые вопросы
Как записать ротор в LaTeX?
\nabla \times \mathbf{F}, где \times обозначает векторное произведение оператора набла и векторного поля.
Как записать дивергенцию в LaTeX?
\nabla \cdot \mathbf{F}, где \cdot обозначает скалярное произведение оператора набла и векторного поля.
Какой код LaTeX у лапласиана?
\nabla^2 f или, что то же самое, \Delta f.
Чем отличаются \nabla f, \nabla \cdot \mathbf{F} и \nabla \times \mathbf{F}?
\nabla f это градиент скалярного поля (результат: вектор). \nabla \cdot \mathbf{F} это дивергенция векторного поля (результат: скаляр). \nabla \times \mathbf{F} это ротор векторного поля (результат: вектор).