Прямая сумма (⊕) и тензорное произведение (⊗) в LaTeX

Q: Как записать прямую сумму по индексу?

Используйте крупную форму оператора, \bigoplus_{i=1}^{n} V_i, а не повторяйте \oplus вручную.

\oplus и \otimes дают плюс и умножение в кружке (⊕, ⊗): прямую сумму векторных пространств или групп и тензорное произведение соответственно.

\oplus

Команда LaTeX

\oplus

Это не тот символ? Нарисуйте его, чтобы найти команду →

Набираете рукописные конспекты? Преобразуйте целую страницу рукописного текста в LaTeX →

Прямая сумма $V \oplus W$ объединяет два векторных пространства или две группы так, что размерности (или порядки) складываются, а каждый элемент это пара, по одному элементу из каждого слагаемого. Она постоянно встречается в линейной алгебре при разложении пространства на независимые части, например на подпространство и его дополнение.

Тензорное произведение $u \otimes v$ это другая конструкция: она строит большее пространство из двух меньших, комбинируя, а не объединяя в пары их элементы. Оно занимает центральное место в полилинейной алгебре и квантовой механике, где пространство состояний двух систем это \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B, но никогда не \oplus.

\oplus широко используют и за пределами чистой алгебры: в информатике и теории кодирования он обычно означает побитовое XOR. \bigoplus и \bigotimes дают «крупные» формы операторов, как \sum и \prod, для прямой суммы или тензорного произведения по индексу.

Другие варианты

\otimesтензорное произведение (⊗)

\odotточка в кружке (⊙)

Примеры

V \oplus W

$V \oplus W$

прямая сумма двух векторных пространств

u \otimes v

$u \otimes v$

тензорное произведение двух векторов

R^{2} \oplus R^{3} ≅ R^{5}

$\mathbb{R}^2 \oplus \mathbb{R}^3 \cong \mathbb{R}^5$

размерности складываются при прямой сумме

i = 1 ⨁ n V_{i}

$\bigoplus_{i=1}^{n} V_i$

прямая сумма по индексу

Советы и частые ошибки

\oplus и \otimes не требуют дополнительных пакетов: обе команды встроены в LaTeX.
В квантовой механике для совместных систем используется \otimes, а не \oplus; прямая сумма описывала бы другую, несоставную структуру.
\odot (точка в кружке) родственный, но более редкий символ, иногда им обозначают поэлементное произведение (Адамара); не путайте его с \otimes.
В информатике и теории кодирования \oplus обычно означает побитовое XOR, а не прямую сумму, так что оговорите принятое обозначение, если аудитория может ожидать алгебраического прочтения.
Для сумм и произведений по индексу берите \bigoplus_{i} и \bigotimes_{i}, а не цепочки из многих \oplus или \otimes, набранных вручную.

Работаете с рукописными конспектами?

LatexNotes превращает фото или PDF с рукописной математикой в аккуратный компилируемый LaTeX, вместе с графиками. Попробуйте бесплатно, без регистрации.

Посмотрите шаг за шагом, как работает преобразование рукописного текста в LaTeX, а если вы пишете на iPad, откройте GoodNotes в LaTeX (в Notability всё устроено так же).

Преобразовать математику в LaTeX →

Частые вопросы

Что означает \oplus в LaTeX?

Плюс в кружке, ⊕. В алгебре это обычно прямая сумма векторных пространств или групп; в информатике чаще всего побитовое XOR.

Что означает \otimes?

Умножение в кружке, ⊗: тензорное произведение векторных пространств, матриц или квантовых состояний.

Как записать прямую сумму по индексу?

Используйте крупную форму оператора, \bigoplus_{i=1}^{n} V_i, а не повторяйте \oplus вручную.

Это \oplus то же самое, что обычное сложение?

Нет, он обозначает определённую алгебраическую конструкцию (или XOR в вычислениях), а не обычное сложение; для сложения чисел используйте +.